Gimbal Lock 萬向鎖

所謂gimbal lock,數學上來說, 就是使用Euler轉動系統所存在的問題.



(Euler 轉動系統指的是以個別轉動XYZ軸的方式來組合成你所指定的轉動)

要瞭解gimbal lock, 就用Direct3D舉個例子給你瞧瞧...

D3DXMatrixRotationX(&matX, m_fTime/5.0f);
D3DXMatrixRotationY(&matY, D3DX_PI/2.0f);//--->Trigger the gimbal lock!!
D3DXMatrixRotationZ(&matZ, m_fTime/5.0f);
matTotal = matX*matY*matZ;
其中以Y軸做旋轉之後, 新的z軸恰巧和先前的X軸相反.這使得轉動會相消.
數學上來驗證一下你會發現matTotal的結果不管m_fTime的值為何, 都不會改變(一動也不動). 這當然不是我們要的, 所以達不到我們所要求的轉動.

請問gimbal lock的基本觀念



Maybe it's a bit difficult to understand. OK, let me show you a real sence.

可能有點不好理解。讓我們看個現實中的場景。

Say that we have a telescope and a tripod to put the telescope on. The tripod is put on the ground. The top of the tripod holding the telescope is leveled with the horizon (reference plane) so that a vertical rotation axis (we call it X axis) is perfectly vertical to the ground plane. The telescope can then be rotated around 360 degrees in X axis so that it can scan the horizon in all the directions of the compass. Zero degrees azimuth is usually set toward a heading of true north. A second horizontal axis parallel to the ground plane (we call it Y axis), enables the telescope to be rotated in elevation upward or downward from the horizon. The horizon is usually set at zero degrees and the telescope can be rotated +90 degrees upward in elevation so that it is looking straight up toward the zenith or rotated -90 degrees downward so that it is looking vertically at the ground plane.

假如我們有一個望遠鏡和一個用來放望遠鏡的三腳架，（我們將）三腳架放在地面上，使支撐望遠鏡的三腳架的頂部是平行於地平面（參考平面）的，以便使得豎向的旋轉軸（記為x軸）是完全地垂直於地平面的。現在，我們就可以將望遠鏡饒x軸旋轉360度，從而觀察（以望遠鏡為中心的）水平包圍圈的所有方向。通常將正北朝向方位角度記為0度方位角。第二個坐標軸，即平行於地平面的橫向的坐標軸（記為y軸）使得望遠鏡可以饒著它上下旋轉，通常將地平面朝向的仰角記為0 度，這樣，望遠鏡可以向上仰+90度指向天頂，或者向下-90度指向腳底。

OK, that's all we needed. every point in the sky (and the ground) can be referenced by only ONE unique pair of X and Y readings. For example an X of 90 degrees and Y of 45 degrees specifies a point exactly due east of the telescope and in a skyward direction half way up toward the zenith.

好了，萬事俱備。現在，天空中（包括地面上）的每個點只需要唯一的一對x和y度數就可以確定。比如x=90度,y=45度指向的點是位於正東方向的半天空上。

Now let me show you how the gimal lock occurred. We detect a high flying aircraft, near the horizon, due east from the telescope (X = 90 degrees, Y = 10 degrees) and we follow it (track it) as it comes directly toward us. The X angle stays at 90 degrees and the Y angle slowly increases. As the aircraft comes closer the Y angle increases more rapidly and just as the aircraft reaches an Y of 90 degrees (exactly overhead), it makes a sharp turn due south. We find that we cannot quickly move the telescope toward the south because the Y angle is exactly +90 degrees so we loose sight (loose track) of the aircraft . We have GIMBAL LOCK!

現在，看看萬向節死鎖是怎麼發生的。一次，我們探測到有一個飛行器貼地飛行，位於望遠鏡的正東方向（x=90度，y=10度），朝著我們直飛過來，我們跟蹤它。飛行器飛行方向是保持x軸角度90度不變，而y向的角度在慢慢增大。隨著飛行器的臨近，y軸角增長的越來越快且當y向的角度達到90度時（即將超越），突然它急轉彎朝南飛去。這時，我們發現我們不能將望遠鏡朝向南方，因為此時y向已經是 90度，造成我們失去跟蹤目標。這就是萬向節死鎖！

(譯註：為什麼說不能將望遠鏡朝向南方呢，讓我們看看坐標變化，從開始的（x=90 度，y=10度）到（x=90度，y=90度），這個過程沒有問題，望遠鏡慢慢轉動跟蹤飛行器。當飛行器到達（x=90度，y=90度）後，坐標突然變成（x=180度，y=90度）（因為朝南），x由90突變成180度,所以望遠鏡需要饒垂直軸向x軸旋轉180-90=90度以便追上飛行器,但此時，望遠鏡已經是平行於x軸，我們知道饒平行於自身的中軸線的的旋轉改變不了朝向，就像擰螺絲一樣，螺絲頭的指向不變。所以望遠鏡的指向還是天頂。而後由於飛行器飛遠，坐標變成（x=180度，y<90度）時，y向角減小，望遠鏡只能又轉回到正東指向，望'器'興嘆。這說明用x,y旋轉角（又稱歐拉角）來定向物體有時並不能按照你想像的那樣工作，象上面的例子中從（x=90度，y=10度）到（x=90度，y=90度），坐標值的變化和飛行器空間的位置變化一一對應，但是從（x=90度，y=90度）到（x=180度，y=90度），再到（x=180度，y<90度）這個變化，飛行器位置是連續的變化，但坐標值的變化卻不是連續的（從90突變到180），其原因在於（x=90度，y=90度）和（x=180度，y=90度）甚至和（x=任意度，y=90度）這些不同的坐標值對應空間同一個位置，這種多個坐標值對應同一個位置的不一致性是造成死鎖的根源。【感謝zeroyear, fatfatson 等的深層解釋，原先解釋的不夠清晰，故修改如上。原文：按照歐拉角旋轉確實可以正確地定向，但從（x=90度，y=90度）到（x=180度，y=90度），再到（x=180度，y<90度）,按照歐拉角旋轉後的定向並非正確】) It's a example of 2D coordinate frame. It's very similar in 3D frame. We say that you have a vector which is parellel to the X axis. And we rotate it around Y axis so that the vector is parellel to the Z axis. Then we find that any rotations around Z axis will have no effect on the vector. We say that we have a GIMBAL LOCK 上面是2維坐標系中的例子，同樣，對於3維的也一樣。比如有一個平行於x軸的向量，我們先將它饒y旋轉直到它平行於z軸，這時，我們會發現任何饒z的旋轉都改變不了向量的方向，即萬向節死鎖。 (譯註：3維的萬向節死鎖情況分析見：http://www.cnblogs.com/soroman/archive/2008/03/24/1118996.html)

SoRoMan - 譯:關於萬向節死鎖(Gimbal Lock)



影片圖解(建議閱讀)

Gimble Lock - Explained


延伸閱讀
wikipedia - 歐拉角
wikipedia - 四元數